Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．

（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）A（﹣1，0），B（2，3）；（2）△ABP面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）；（3）或1．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可證，此時(shí)∠OQC=90°且點(diǎn)Q為唯一．以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值，注意另外注意一點(diǎn)是考慮直線AB是否與拋物線交于C點(diǎn)，此時(shí)亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．

試題解析：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．

聯(lián)立兩個(gè)解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=x+1=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）設(shè)P（x，x2﹣1）．

如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=，

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+

當(dāng)x=時(shí)，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）．

（3）設(shè)直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，

則E（﹣，0），F(xiàn)（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

Ⅰ、假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，

則以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，根據(jù)圓周角定理，此時(shí)∠OQC=90°．

設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．

∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴，即：，

解得：k=±，

∵k＞0，

∴k=．

∴存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=．

Ⅱ、若直線AB過(guò)點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)只有另一點(diǎn)Q點(diǎn)，故亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，

將C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=-1（舍去），

故亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°，此時(shí)k=1．

綜上所述，k=或1時(shí)，存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC=90°．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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