Question

（2009•大連）如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，點E在邊DC上，且DE=4cm．動點P從點A開始沿著A?B?C?E的路線以2cm/s的速度移動，動點Q從點A開始沿著AE以1cm/s的速度移動，當點Q移動到點E時，點P停止移動．若點P、Q同時從點A同時出發(fā)，設點Q移動時間為t（s），P、Q兩點運動路線與線段PQ圍成的圖形面積為S（cm²），求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：由勾股定理求得AE=5，由于點P可以在AB，BC，CE上，因此分三種情況討論：1、0＜t≤3，2、3＜t≤，3、＜t≤5，
解答：解：在Rt△ADE中，AE=．（1分）
①當0＜t≤3時，如圖1．（2分）
過點Q作QM⊥AB于M，連接QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠D=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴，∴．（3分）
S=AP•QM=×2t×t=t²．（4分）

②當3＜t≤時，如圖2．（5分）
在Rt△ADE中，AE=
過點Q作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，連接QB、QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠ADE=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴，，
∴．（6分）
AM==t，∴QN=BM=6-AM=6-t．（7分）
∴S_△QAB=AB•QM=×6×t=t
S_△QBP=BP•QN=（2t-6）（6-t）=-t²+t-18
∴S=S_△QAB+S_△QBP=t+（-t²+t-18）=-t²+t-18（8分）

③當＜t≤5時．
方法1：過點Q作QH⊥CD于H，連接QP．如圖3．
由題意得QH∥AD，∴△EHQ∽△EDA，∴
∴QH==（5-t）（10分）
∴S_梯ABCE=（EC+AB）•BC=（2+6）×3=12
S_△EQP=EP•QH=（11-2t）×（5-t）=t²-t+
∴S=S_梯ABCE-S_△EQP=12-t²+t-=-t²+t-．（11分）
點評：本題由于點P的位置有三種情況，所以要分三種情況討論，通過作輔助線，利用：1、勾股定理，2、相似三角形的判定和性質，3、三角形和梯形的面積公式求解．