Question

如圖，AB為⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，D為AB延長線上一點，過D作⊙O的切線，E為切點，連CE交AB于F．
（1）求證：DE=DF；
（2）連AE，若tanC=

1

4

，求tanA的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OE，若要證明DE=DF，則只要證明∠DFE=∠DEF即可；
（2）連BC，過F作BC的垂線，垂足為H，由題意可知△C0B為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，圓周角定理以及已知條件即可求出tanA的值．

解答：（1）證明：連接OE，
∵半徑OC⊥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠OCF+∠CFO=90°
∵DE是⊙O的切線，E為切點，
∴∠OED=90°，
∴∠OEC+∠FED=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OFC=∠FED，
∵∠OFC=∠DFE，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）解：連BC，過F作BC的垂線，垂足為H，
∵OC=OB，半徑OC⊥AB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵若tanC=

1

4

，
∴可設(shè)OF=1，則OC=4，BF=3，
∴FH=BH=

3 2

2

，BC=4

2

，
∴HC=BC-BH=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，
∴在RT△CFH中，tanA=tan∠HCF=

3

5

．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理以及銳角三角函數(shù)，對于考查學生的綜合解題能力是一道相當不錯的題目．