Question

在正方形ABCD中，將∠ADC繞點D順時針旋轉一定角度，使角的一邊與BC的交點為點F，且CF=BF，另一邊與BA的延長線交于點E，連接EF，與BD交于點M．∠BEF的角平分線交BD于點G，過點G作GH⊥AB于H．在下列結論中：（1）；（2）DG=DF；（3）∠BME=90°；（4）HG+EF=AD．正確的個數(shù)有

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

C
分析：利用相似三角形的性質與判定首先求出DW=x，進而得出QM=x，即可得出S_△BME=×MQ×BE=x²，S_△BDF=×2x×3x=3x²，即可得出①錯誤，再利用三角形的外角以及正方形的性質得出②正確，進而利用等腰三角形的性質求出其他答案．
解答：作MQ⊥AB于點Q，
假設CF=x，則BF=2x，BE=4x，AE=x，
∵AD∥BC，
∴=，
∴，
∴AW=，
∴DW=x，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
解得：DM=x，
∴BM=x，
∴QM=x，
∴S_△BME=×MQ×BE=x²，
S_△BDF=×2x×3x=3x²，
∴=，
∴故（1）錯誤；
∵在正方形ABCD中，將∠ADC繞點D順時針旋轉一定角度，使角的一邊與BC的交點為點F，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠BEF的角平分線交BD于點G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵∠DEG=∠DEF+∠FEG=45°+∠FEG，
∵∠EGD=∠ABD+∠BEG=45°+∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴ED=DG，
∴DG=DF，故（2）正確；
∵∠MBF+∠MFB=∠BME，
∵∠MBF=45°，
∵BF≠BE，
∴∠BFE≠45°，
∴∠MBF+∠MFB=∠BME≠90°，
故（3）錯誤；
延長EG到BC于點S，作SZ⊥EF于點Z，
∵CF=BF，
∴設FC=x，BF=2x，
∴AB=AD=3x，
∵將∠ADC繞點D順時針旋轉一定角度，使角的一邊與BC的交點為點F，
∴可以得出AD=DC，DE=DF，
∠EAD=∠C=90°，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=FC=x，
∴EB=4x，
∴EF==2x，
∵∠BEF的角平分線交BD于點G，
∴BS=SZ，
sin∠ZFS===，
∴=，
∴=，
解得：SZ=（4-8）x，
∵HG∥BS，
∴=，
∴=，
解得：HG=（3-）x，
∴2HG+EF=（6-2）x+2x=6x，
2AD=6x，
∴2HG+EF=2AD，
∴HG+EF=AD，
故（4）正確．
故選C．
點評：此題主要考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質，三角形全等的判定與性質，三角形的面積等知識點，綜合性較強難度較大．