Question

【題目】問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是　 　；

探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

Answer 1

【答案】問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：仍然成立，理由見解析；實(shí)際應(yīng)用：此時(shí)兩艦艇之間的距離為320海里

【解析】

問題背景：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，證明EF=FG，得到答案；

探索延伸：連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，利用全等三角形的性質(zhì)證明EF=AE+FB．

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，首先證明，∠FOE=∠AOB，利用結(jié)論EF=AE+BF求解即可．

解：?jiǎn)栴}背景：由題意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，

∴BE=DG，EF=GF，

∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．

故答案為：EF=BE+FD．

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立．

理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADG，

又∵AB=AD，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

又∵∠EAF=∠BAD，

∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF，

=∠BAD﹣∠BAD=∠BAD，

∴∠EAF=∠GAF．

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴EF=FG，

又∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+FD．

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE，BF相交于點(diǎn)C，

在四邊形AOBC中，

∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的條件，

∴結(jié)論EF=AE+FB成立．

即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里)

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為320海里．