Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-2，2），若直線(xiàn)y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點(diǎn)B（m，-1），與x軸交于點(diǎn)M．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和直線(xiàn)y=ax+b解析式．
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-2），求△CAB的面積．
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先將點(diǎn)A（-2，2）代入反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=

k

x

，求出k=-4，再由反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（m，-1），得到m=4，然后將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)y=ax+b，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=-

1

2

x+1與y軸的交點(diǎn)為N，先求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC，即可求解；
（3）分三種情況討論：①以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為腰；②以A為頂點(diǎn)，AO為腰；③以P為頂點(diǎn)，即以AO為底，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及已知條件即可求解．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)A（-2，2），
∴2=

k

-2

，
解得k=-4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

4

x

．
∵點(diǎn)B（m，-1）經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)y=-

4

x

的圖象上，
∴-1=-

4

m

，
解得m=4，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，-1）．
∵點(diǎn)A（-2，2）、點(diǎn)B（4，-1）經(jīng)過(guò)直線(xiàn)y=ax+b，
∴

-2a+b=2 4a+b=-1

，
解得

a=- 1 2 b=1

．
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x+1；

（2）設(shè)一次函數(shù)y=-

1

2

x+1與y軸的交點(diǎn)為N（0，1），則ON=1．
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC=

1

2

×3×2+

1

2

×3×4=9；

（3）在x軸上存在點(diǎn)P，能使△PAO為等腰三角形．理由如下：
過(guò)A點(diǎn)作AD⊥x軸于D．
∵點(diǎn)A（-2，2），
∴OA=

OC2+AC2

=

(-2)2+22

=2

2

．
分三種情況：
①以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為腰，則OP=OA=2

2

．
∵點(diǎn)P在x軸上，
∴P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0）；
②以A為頂點(diǎn)，AO為腰，則AP=AO，
又∵AD⊥x軸，
∴AD為底邊OP的垂直平分線(xiàn)，
∴OP=2OD=2×2=4，
∵點(diǎn)P在x軸上，
∴P₃（-4，0）；
③以P為頂點(diǎn)，即以AO為底，作AO的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P．
∵Rt△ADO中，AD=OD=2，
∴D在OA的垂直平分線(xiàn)上，
∴D與P重合，
∴P₄（-2，0）．
綜上可知，在x軸上存在點(diǎn)P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0），P₃（-4，0），P₄（-2，0），能使△PAO為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積的求法，等腰三角形的性質(zhì)，第三問(wèn)進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．