Question

16．直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標系中，其中點D在x軸負半軸上，直線y=x+m經過點C，交x軸于點E．
①請直接寫出點C、點D的坐標，并求出m的值；
②點P（0，t）是線段OB上的一個動點（點P不與0、B重合），
經過點P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設線段MN的長度為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
③當t=2時，線段MN，BC，AE之間有什么關系？（寫出過程）

Answer 1

分析 （1）由直線的解析式可求出A和B點的坐標，再根據菱形的性質即可求出點C、點D的坐標，把點C的坐標代入直線y=x+m即可求出m的值；
（2）設點M的坐標為（x_M，t），點N的坐標為（x_N，t），首先求出x_M=-$\frac{3}{4}$t+3，再求出x_N=t-9，進而得到d=x_M-x_N=-$\frac{3}{2}$t+3-（t-9）=-$\frac{7}{4}$t+12；
（3）先求出點P的坐標，進而得出點P是OB中點，即可得出MN是梯形ABCE的中位線即可得出結論．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A的坐標為（3，0）點B的坐標為（0，4），
∵四邊形ABCD是菱形，
∵直線y=x+m經過點C，
∴m=9，
（2）∵MN 經過點P（0，t）且平行于x軸，
∴可設點M的坐標為（x_M，t），點N的坐標為（x_N，t），
∵點M在直線AB上，
直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴t=-$\frac{4}{3}$x_M+4，得x_M=-$\frac{3}{4}$t+3，
同理點N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t-9，
∵MN∥x軸且線段MN的長度為d，
∴d=x_M-x_N=-$\frac{3}{4}$t+3-（t-9）=-$\frac{7}{4}$t+12（0≤t≤4）
（3）MN=$\frac{1}{2}$（BC+AE）．
理由：當t=2時，P（0，2），
∴OP=2，
∵OB=4，
∴點P是OB中點，
∵MN∥x軸，
∴MN是梯形ABCE的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$（BC+AE）．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了菱形的性質，梯形的中位線，待定系數法，解本題的關鍵得出d與t之間的函數關系式，是一道比較簡單的中考常考題．