Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x-1分別交x軸、y軸于點A、點B，交雙曲線于點C（3，n）．拋物線y=ax2+

3

2

x+c(a≠0)過點B，且與該雙曲線交于點D，點D的縱坐標為-3．
（1）求該雙曲線與拋物線的解析式；
（2）若點P為該拋物線上一點，點Q為該雙曲線上一點，且P、Q兩點的縱坐標都為-2，求線段PQ的長；
（3）若點M沿直線從點A運動到點C，再沿雙曲線從點C運動到點D，過點M作MN⊥x軸，交拋物線于點N．設(shè)線段MN的長度為d，點M的橫坐標為m，直接寫出d的最大值，以及d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點A、B、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線和雙曲線解析式求出點P、Q的坐標，然后根據(jù)平行于x軸的直線上兩點間的距離的求法求解即可；
（3）分點M在AB、BC、CD上三種情況，根據(jù)直線、拋物線和雙曲線的解析式表示出d，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．

解答：解：（1）令y=0，則-x-1=0，
解得x=-1，
令x=0，則y=-1，
所以，點A（-1，0），B（0，-1），
x=3時，y=-3-1=-4，
所以，點C（3，-4），
設(shè)雙曲線解析式為y=

k

x

（k≠0），
則

k

3

=-4，
解得k=-12，
所以，雙曲線解析式為y=-

12

x

，
∵點D的縱坐標為-3，
∴-

12

x

=-3，
解得x=4，
∴點D（4，-3），
∵拋物線y=ax²+

3

2

x+c過點B、D，
∴

c=-1 16a+ 3 2 ×4+c=-3

，
解得

a=- 1 2 c=-1

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x-1；

（2）當y=-2時，-

1

2

x²+

3

2

x-1=-2，
整理得，x²-3x-2=0，
解得x₁=

3+ 17

2

，x₂=

3- 17

2

，
∴點P的坐標為（

3+ 17

2

，-2）或（

3- 17

2

，-2），
-

12

x

=-2，
解得x=6，
∴點Q的坐標為（6，-2），
∴PQ=6-

3+ 17

2

=

9- 17

2

或PQ=6-

3- 17

2

=

9+ 17

2

；

（3）①點M在AB上時，-1＜m＜0，
d=MN=（-m-1）-（-

1

2

m²+

3

2

m-1）=

1

2

m²-

5

2

m=

1

2

（m-

5

2

）²-

25

8

，
∴d隨m的增大而減小，
②點M在BC上時，0＜m＜3，
d=MN=（-

1

2

m²+

3

2

m-1）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m=-

1

2

（m-

5

2

）²+

25

8

，
∴m=

5

2

時，d有最大值為

25

8

，

5

2

＜m＜3時，d隨m的增大而減小，
③點M在CD上時，3＜m＜4，
d=MN=（-

1

2

m²+

3

2

m-1）-（-

12

m

）=-

1

2

m²+

3

2

m+

12

m

-1，
由圖可知，d隨m的增大而減小，
綜上所述，d的最大值是

25

8

，-1＜m＜0，

5

2

＜m＜3，3＜m＜4時，d隨m的增大而減�。�

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式），二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的增減性，綜合題，但難點不大，（2）要注意點P有兩個，（3）要注意分情況討論．