如圖,拋物線與x軸交于A、B(6,0)兩點,且對稱軸為直線x=2,與y軸交于點C(0,-4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,連接MA、MC,當(dāng)△MAC的周長最小時,求點M的坐標(biāo);
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,如果存在,直接寫出所有滿足條件的點F的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

解:(1)∵拋物線與x軸交于A、B(6,0)兩點,且對稱軸為直線x=2,
∴A(-2,0),
又∵拋物線過點A、B、C,
故設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),
將點C的坐標(biāo)代入,
求得,
∴拋物線的解析式為;

(2)當(dāng)△MAC的周長最小時,即MA+MC的值最小,
連接BC,交直線x=2于點M,即為所求的點;
∵直線BC經(jīng)過B(6,0),C(0,-4),
∴直線CB的解析式為,
當(dāng)x=2時,y=-
;

(3)∵點D(4,k)在拋物線上,
∴當(dāng)x=4時,k=-4,
∴點D的坐標(biāo)是(4,-4),
如圖(1),當(dāng)AF2為平行四邊形的邊時,
∵D(4,-4),
∴DE=4.
∴F1(0,-4);
如圖(2),當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時,
F的坐標(biāo)為(x,4)
把F(x,4)代入

∴F2(2+2,4),F(xiàn)3(2-2,4).
分析:(1)首先根據(jù)拋物線與x軸交于A、B(6,0)兩點,且對稱軸為直線x=2可以求出A的坐標(biāo),然后設(shè)所求拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),接著把C的坐標(biāo)代入其中即可求解;
(2)根據(jù)題意知道當(dāng)△MAC的周長最小時,即MA+MC的值最小,然后連BC,交直線x=2于點M,即為所求的點.根據(jù)作圖可以求出直線BC的解析式,把x=2代入其中求出y即可解決問題;
(3)存在.首先根據(jù)已知條件求出D的坐標(biāo),然后討論:
如圖(1),當(dāng)AF2為平行四邊形的邊時,接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到E的坐標(biāo);
如圖(2),當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時,設(shè)E'的坐標(biāo)為(x,4),把E'(x,4)代入,由此即可求解.
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,分別考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì),綜合性比較強,要求學(xué)生有很強的綜合分析問題,解決問題的能力,同時相關(guān)的基礎(chǔ)知識也熟練掌握.
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,-3),設(shè)拋物線的頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo);
(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎?為什么?
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請指出符合條件的點P的位置,并直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1<x2,與y軸交于點C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-12=0的兩個根.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是線段AB上的一個動點,過點M作MN∥BC,交AC于點N,連接CM,當(dāng)△CMN的面積最大時,求點M的坐標(biāo);
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2012•歷下區(qū)一模)如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于C(0,3),M是拋物線對稱軸上的任意一點,則△AMC的周長最小值是
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10
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(1)求拋物線的解析式;
(2)直線AC上是否存在點D,使△BCD為直角三角形.若存在,求所有D點坐標(biāo);反之說理;
(3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點(A點除外),連PA、PC,若設(shè)△PAC的面積為S,P點橫坐標(biāo)為t,則S在何范圍內(nèi)時,相應(yīng)的點P有且只有1個.

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