Question

如圖△ABC中M為BC的中點，N為AM上一點，過N作直線PQ分別交線段AB、AC于P、Q．
（1）當PQ∥BC時，求證：PN=NQ；
（2）當PQ與BC不平行時，=______．填空并證明．

Answer 1

解：（1）∵PQ∥BC，∴△APN∽△ABM，
∴=，
同理=，
∵BM=CM，∴PN=NQ

（2）=2，
如圖，過B，C兩點作AM的平行線交直線于D，F(xiàn)，
∵BD∥AM，CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP，△CEQ∽△ANQ
∴=，=，
∵M為BC的中點，MN∥CE∥BD
∴NM為梯形BDEC的中位線，
∴BD+EC=2MN，
∴=2．
故答案為2．
分析：（1）由平行，可證得，△APN∽△ABM，則=，同理=，從而得出PN=NQ；
（2）分別過B，C兩點作AM的平行線交直線于D，F(xiàn)，根據(jù)平行線段分線段成比例可證=，=，再證NM為梯形BDEC的中位線，根據(jù)梯形的中位線原理可知BD+EC=2MN，從而得出結論．
點評：本題主要考查相似三角形的判定，梯形的中位線原理，平行線平分線段成比例幾個考點，熟練掌握上述定理并靈活運用是解答本題的關鍵．