Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于P，已知A（2，3），B（1，1），D（4，3）．
（1）求證：BP=CP；
（2）求出直線AC的解析式；
（3）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用已知點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合梯形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)以及各線段長(zhǎng)度，進(jìn)而利用SAS得出△AFC≌△DEB，再利用等腰三角形的判定得出即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（3）利用A，C點(diǎn)橫坐標(biāo)得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，
∵AD∥BC，A（2，3），B（1，1），D（4，3），AB=CD，
∴BF=EC=1，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，1），
∴BE=3，F(xiàn)C=3，AF=DE=2，
∴在△AFC和△DEB中

AF=DE ∠AFC=∠DEB FC=EB

，
∴△AFC≌△DEB（SAS），
∴∠DBE=∠ACF，
∴BP=CP；

（2）解：將A（2，3），C（5，1）代入y=kx+b得：

2k+b=3 5k+b=1

，
解得：

k=- 2 3 b= 13 3

，
∴直線AC的解析式為：y=-

2

3

x+

13

3

；

（3）解：∵BP=CP，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為B，C橫坐標(biāo)的平均值，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，1），
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為；3，
∵P點(diǎn)在直線AC上，
∴y=-

2

3

×3+

13

3

=

7

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，

7

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)和梯形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)梯形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．