Question

17．已知：$\root{3}{a+1}$和$\root{3}{a-5}$互為相反數(shù)，
（1）求a的值；
（2）用計算器計算下列各式的值（結(jié)果保留小數(shù)點后三位）：$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a-1}$，$\frac{\sqrt{（a+1）^{2}-1}}{a}$，$\frac{\sqrt{（a+2）^{2}-1}}{a+1}$，$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}-1}}{a+2}$，$\frac{\sqrt{（a+4）^{2}-1}}{a+3}$…，你發(fā)現(xiàn)有何規(guī)律？
（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷A=$\frac{\sqrt{（a+2013）^{2}-1}}{a+2012}$與B=$\frac{\sqrt{（a+2014）^{2}-1}}{a+2013}$的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩式互為相反數(shù)及立方根定義列出方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根據(jù)計算觀察，可發(fā)現(xiàn)分式的值隨分母的增加而減��；
（3）根據(jù)規(guī)律，可得答案．

解答 解：（1）由題意，得
a+1+a-5=0，
解得a=2；
（2）計算$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a-1}$=$\sqrt{3}$≈1.732，$\frac{\sqrt{（a+1）^{2}-1}}{a}$=$\sqrt{2}$≈1.414，$\frac{\sqrt{（a+2）^{2}-1}}{a+1}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$≈1.291，$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}-1}}{a+2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$≈1.225，$\frac{\sqrt{（a+4）^{2}-1}}{a+3}$=$\frac{\sqrt{35}}{5}$≈1.183，
比較1.732＞1.414＞1.291＞1.225＞1.183，
結(jié)論：分式的值隨分母的增加而減��；
（3）由分式的值隨分母的增加而減小，得
$\frac{\sqrt{（a+2013）^{2}-1}}{a+2012}$＞$\frac{\sqrt{（a+2014）^{2}-1}}{a+2013}$，
即A＞B．

點評 本題考查了實數(shù)的大小比較，計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律分式的值隨分母的增加而減小是解題關(guān)鍵．