Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=13，cosC=

5

13

，中線BE和AD交于點(diǎn)F．求：△ABC的面積以及sin∠EBC的值．

Answer 1

分析：由等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，再由cosC=

5

13

，求得CD、AD，則S_△ABC=60，根據(jù)中線的性質(zhì)求出DF，BF，在△BDF中求得sin∠EBC的值．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中線，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．（2分）
∵Rt△ABD與Rt△ACD中，AB=AC=13，cosC=cosB=

5

13

，
∴BD=DC=ABcosB=5（2分）
∴AD=

AB2-BD2

=

132-52

=12，
∴S_△ABC=60．（2分）
∵中線BE和AD交于點(diǎn)F，
∴DF=

1

3

AD=4（1分）
則在Rt△BDF中，BF=

DF2+BD2

=

52+42

=

41

（1分）
∴sin∠EBC=

DF

BF

=

4 41

41

（2分）

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，是中檔題，難度不大．