Question

使得

p(p+1)+2

2

是完全平方數(shù)的所有質(zhì)數(shù)p為______．

Answer 1

設(shè)

p(p+1)+2

2

=a²，
所以p（p+1）=2a²-2=2（a+1）（a-1），
因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，所以①p=a-1或者②p=a+1或者③p=2，
①當(dāng)p=a-1時(shí)，設(shè)a-1=kp，（k為≥1的正整數(shù)）所以a=kp+1，
所以p（p+1）=2kp（kp+2），
所以p+1=2k（kp+2），
所以（2k²-1）p=1-4k，
因?yàn)椋?k²-1）＞0，所以（2k²-1）p，
又因?yàn)?-4k＜0，
所以（2k²-1）p=1-4k不可能成立．
②當(dāng)p=a+1時(shí)，設(shè)a+1=kp，（k為≥1的正整數(shù)）所以a=kp-1．
所以p（p+1）=2kp（kp-2），
所以p+1=2k（kp-2），
所以（2k²-1）p=1+4k，
所以2k²-1＜1+4k．
因?yàn)楫?dāng)k≥3時(shí)，2k²-1≥6k-1=4k+1+2（k-1）＞1+4k
所以k=1或者2，
當(dāng)k=1時(shí)，（2k²-1）p=1+4k≥p=5，
當(dāng)k=2時(shí)，（2k²-1）p=1+4k≥7p=9，所以不存在質(zhì)數(shù)p．
③當(dāng)p=2時(shí)，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)．
所以p=2，
綜上所述，p=2或者p=5，
驗(yàn)算：
當(dāng)p=2時(shí)，

p(p+1)+2

2

=4=2²
當(dāng)p=5時(shí)，

p(p+1)+2

2

=16=4²．
故答案為2或5．