Question

已知關(guān)于x的方程（k-2）x²+（1-2k）x+k=0．
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）如果改為方程有實(shí)數(shù)根，k的取值范圍有變化嗎？若有變化，求出此時(shí)k的取值范圍；若沒有變化，請說明理由；
（3）方程有實(shí)數(shù)根，且k為不大于0的整數(shù)，求出此時(shí)方程的根．

Answer 1

分析：根據(jù)根的判別式來列不等式，解不等式求k的取值范圍．
（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚�(gè)實(shí)數(shù)根，所以△≥0，且k-2≠0；
（2）因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，不知道方程時(shí)一元二次方程還是一元一次方程，所以需要分兩種情況考慮；
（3）因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，且k為不大于0的整數(shù)，所以△≥0，k≤0，且為整數(shù)．

解答：解：（1）由題意

k-2≠0 △=(1-2k)2-4k(k-2)≥0

∴k的取值范圍是k≥-

1

4

且k≠2．

（2）有變化．
當(dāng)k≠2時(shí)，k≥-

1

4

；當(dāng)k=2時(shí)，一元一次方程-3x+2=0有實(shí)根，
∴k≥-

1

4

．

（3）若方程有實(shí)根，則k≥-

1

4

．
又∵k≤0且k為整數(shù)，∴k=0，
當(dāng)k=0時(shí)，-2x²+x=0，
∴x₁=0，x₂=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．當(dāng)題中沒有明確方程是一元幾次方程時(shí)，要分情況考慮．思路要嚴(yán)謹(jǐn)不要漏掉各種情況．
總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．