Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC內一點，OD是AB的垂直平分線，OF⊥AC，且OD＝OF．

（1）當∠OAC＝27°時，求：∠OBC的度數(shù)．

（2）求證：AF＝CF．

Answer 1

【答案】（1）∠OBC＝36°；（2）見解析

【解析】

（1）由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB， , ，由OD是AB的垂直平分線，得出OA＝OB，，然后根據(jù)∠OAC的度數(shù)求出∠ABC，∠ABO的度數(shù)，最后利用∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO求解即可

（2）通過垂直平分線的性質和等腰三角形的性質證出OA=OC，然后通過HL證明，即可證出AF＝FC．

解：（1）連接AO，并延長交BC于點E，連接OB，OC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，AO平分∠DAF，

,

∵OD是AB的垂直平分線，

∴OA＝OB，

∵∠OAC＝27°

∴∠BAC＝27°×2＝54°，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣54°）＝63°，

∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°；

（2）∵OD是AB的垂直平分線，

∴OA＝OB，

又∵AB＝AC，

∴AE⊥BC，BE＝CE，

∴OE垂直平分BC，

∴OB＝OC，

∴OA＝OC，

∵OF⊥AC，

在和中，

∴

∴AF＝FC．