Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，交OC于點E，連接CD，OD．給出以下四個結論：①S_△DEC=S_△AEO；②AC∥OD；③線段OD是DE與DA的比例中項；④2CD²=CE•AB．其中結論正確的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：①過點E作EM⊥AC于點M，易得CE：OE=：1，又由△DCE的高＜△AOE的高OA，可得S_△DEC＜S_△AEO；
②易求得∠CAD=∠DAO=∠CAB，則可證得AC∥OD；
③可證得∠DAB=∠CAD=∠COD，即可得△DOE與△DAO不相似，則可得線段OD不是DE與DA的比例中項；
④可證得△CED∽△CDO，由相似三角形的對應邊成比例，即可得到2CD²=CE•AB．
解答：解：①過點E作EM⊥AC于點M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分別交OC于點E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=ME=EO，
∴CE：OE=：1，
∵OA=OB，
∴△DCE的高＜△AOE的高OA，
∴S_△DEC＜S_△AEO，
故①錯誤．
②∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴②正確．
③∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠DAB=∠CAD=∠COD，
∴△DOE與△DAO不相似，
∴OD²≠DE•AD，
即線段OD不是DE與DA的比例中項，
故③錯誤．
④∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠COD=×90°=45°，
∴∠CAD=×45°=22.5°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC•CE=AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正確．
綜上所述，只有②④正確．
故選D．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、圓周角定理以及角平分線的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．