Question

（2013•普陀區(qū)模擬）已知點(diǎn)A，B，C是半徑為2的圓0上的三個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A是劣弧BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AB、AC，點(diǎn)D、E分別在弦AB，AC上，連接OD、OE．

（1）當(dāng)點(diǎn)A為劣弧BC的中點(diǎn)時(shí)，且滿足AD=CE（如圖①）
①求證：OD=OE；
②當(dāng)BC=2

2

時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；（如圖②）
（2）當(dāng)BC=2

2

，且OD⊥AB，OE⊥AC時(shí)（如圖③），設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)由點(diǎn)A為劣弧BC的中點(diǎn)知

AB

=

AC

，故

AF

=

CG

，進(jìn)而得出△BOD≌△AOE（SAS）即可得出DO=EO；
②首先得出△BOC為等腰直角三角形，再利用∠BDO=∠AOE，得出∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB求出即可；
（2）首先求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OD邊上的高EG，再利用三角形面積公式求出即可．

解答：（1）①證明：如圖①作直徑BF，直徑AG，
則：由點(diǎn)A為劣弧BC的中點(diǎn)知

AB

=

AC

，
故

AF

=

CG

，
∴∠OAE=∠OBD，
∵在△BOD和△AOE中

AE=BD ∠EAO=∠DBO AO=BO

∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；

②解：如圖②連接OB，OC，BC
∵OB=OC=2，BC=2

2

，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∴∠BOC=90°，
由△BOD≌△AOE知，
∴∠BDO=∠AOE，
∴∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB=45°；

（2）解：如圖③，過點(diǎn)E作EG⊥DO于點(diǎn)G，
∵BD=x，圓的半徑為2，
∴OD=

4-x2

，
∵BC=2

2

，
∴DE=

1

2

BC=

2

，
∴OD邊上的高EG=

4-x2 +x

2

，
y=

1

2

OD×EG
=

1

2

4-x2

×

4-x2 +x

2

=

4-x2+x 4-x2

4

（0＜x＜

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形面積公式等知識(shí)，熟練利用圓周角定理得出∠OAE=∠OBD是解題關(guān)鍵．