Question

如圖1、2是兩個相似比為：的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。

⑴ 在圖3中，繞點旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使兩直角邊分別與交于點，如圖4。

求證：；

⑵ 若在圖3中，繞點旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊和延長線分別與交于點，如圖5，此時結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。

 

圖4

⑶ 如圖，在正方形中，分別是邊上的點，滿足的周長等于正方形的周長的一半，分別與對角線交于，試問線段、、能否構(gòu)成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，并給出證明；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

⑴ 在圖4中，由于，將繞點旋轉(zhuǎn)，得，

     、。連接

 

在中有

又垂直平分  

代換得

 在圖5中，由，將繞點旋轉(zhuǎn)，得

    連接

在中有

又可證≌，得V

代換得

(3)將繞點瞬時針旋轉(zhuǎn)，得，且

因為的周長等于正方形周長的一半，所以

  化簡得從而可得≌，

  推出

此時該問題就轉(zhuǎn)化為圖5中的問題了。由前面的結(jié)論知：

，再由勾股定理的逆定理知：

線段、、可構(gòu)成直角三角形。