Question

11．對于任意一個多位數(shù)，如果他的各位數(shù)字之和除以一個正整數(shù)n所得的余數(shù)與他自身除以這個正整數(shù)n所得余數(shù)相同，我們就稱這個多位數(shù)是n的“同余數(shù)”，例如：對于多位數(shù)1345，1345÷3=448…1，且（1+3+4+5）÷3=4…1，則1345是3的“同余數(shù)”．
（1）判斷四位數(shù)2476是否是7的“同余數(shù)”，并說明理由．
（2）小明同學(xué)在研究“同余數(shù)”時發(fā)現(xiàn)，對于任意一個四位數(shù)如果是5的“同余數(shù)”，則一定滿足千位、百位、十位這三位上數(shù)字之和是5的倍數(shù)．若有一個四位數(shù)，其千位上的數(shù)字是十位的上數(shù)字的兩倍，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1，并且該四位數(shù)是5的“同余數(shù)”，且余數(shù)是3，求這個四位數(shù)．

Answer 1

分析 （1）用2476除以7找出其余數(shù)，再將2476各數(shù)字相加除以7找出其余數(shù)，比較后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該四位數(shù)為$\overline{abcd}$（a、b、c、d均為非0的一位正整數(shù)），根據(jù)各位數(shù)字之間的關(guān)系可列出關(guān)于a、b、c、d的四元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）2476是7的“同余數(shù)”，理由如下：
∵2476÷7=353…5，（2+4+7+6）÷7=2…5，
∴2476是7的“同余數(shù)”．
（2）設(shè)該四位數(shù)為$\overline{abcd}$（a、b、c、d均為非0的一位正整數(shù)），
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{b=c+1}\\{a+b+c=5n}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{b=c+1}\\{a+b+c=5n}\\{d=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{c=1}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{c=1}\\{d=8}\end{array}\right.$，
∴該四位數(shù)為2213或2218．

點評 本題考查了因式分解的應(yīng)用，讀懂題意弄明白“同余數(shù)”的概念是解題的關(guān)鍵．