Question

如圖，AB垂直平分CD，AB與CD相交于點(diǎn)O，CD=2 cm，∠CAD=90°,∠CBD=60°,

點(diǎn)P、Q、M、N分別沿圖示方向在線段上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)開(kāi)始以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)。

（1）       設(shè)出發(fā)時(shí)間為t(s)是否存在某一時(shí)刻，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形，若存在，請(qǐng)證明時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）       點(diǎn)P、Q、M、N分別與點(diǎn)O連結(jié)，圖中陰影部分圖形稱為蝶形，求蝶形面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜）；

（3）       當(dāng)t=時(shí)，在AB上找一點(diǎn)G，使GQ+GM最小，畫(huà)出圖形并求此時(shí)OG的長(zhǎng)。

備用圖

        （1）                      （2）                    （3）  

Answer 1

（1）要是四邊形成為長(zhǎng)方形，證PQ=MN

∵AB垂直平分CD,

∴CO=DO

∵∠CAD=90°,∠CBD=60°，CD=2 cm

∴AO=CO=DO=1,BO=,CB=DB=2 （直接利用相似也行）

∵AP=AQ=BM=BN= t

∴PQ= t,MN= t

∴不存在某一時(shí)刻，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形-

（2）如圖作AB與PQ、MN交于點(diǎn)E、F

∵PQ= t,MN= t

∴PE=QE= t,EO=1- t

MF=NF= t,BF= t,FO=- t

S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON=-

（3）利用軸對(duì)稱與兩點(diǎn)之間線段

如圖，M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為N,P、Q與C、D重合，

連結(jié)NQ交AB與點(diǎn)G，此時(shí)GQ+GM最小

計(jì)算OG的長(zhǎng)可以建立直角坐標(biāo)系，求出NQ所在直線的函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)G（0，）

∴OG=-