Question

如圖，矩形ABCD中，P是AB上一點，將矩形ABCD沿PD折疊，點A恰好落BC邊上E點處，若DE=3PE，CD=9，則CE的長為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質，易證得△BPE∽△CED，設PE=x，由DE=3PE，可得DE=3x，PB=9-x，然后由相似三角形的對應邊成比例，可用x表示出CE的長，然后由勾股定理可得方程（3x）²=[3（9-x）]²+9²，解此方程即可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠A=90°，
∴∠BPE+∠BEP=90°，
設PE=x，
則DE=3PE=3x，
由折疊的性質可得：AP=PE=x，∠PED=∠A=90°，
∴∠BEP+∠CED=90°，BP=AB-AP=9-x，
∴∠BPE=∠CED，
∴△BPE∽△CED，
∴

PB

CE

=

PE

DE

，
∴

9-x

CE

=

1

3

，
∴CE=3（9-x），
在Rt△CED中，DE²=EC²+CD²，
∴（3x）²=[3（9-x）]²+9²，
解得：x=5，
∴CE=3（9-x）=12．
故答案為：12．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及折疊的性質．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想與方程思想的應用．