Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中線，過點C作CF⊥AE于F，過B作BD⊥CB交CF的延長線于點D．
（1）求證：AE=CD；
（2）若BD=5cm，求AC的長．

Answer 1

解：（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
在△DBC和△ECA中，

∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴AE=CD；
（2）∵△DBC≌△ECA，
∴BD=CE，
∵AE是BC邊上的中線，
∴BC=2CE=2BD=10cm，
∴AC=BC=10cm．
分析：（1）先證出∠D=∠AEC，再利用AAS證出△DBC≌△ECA，即可得出AE=CD；
（2）先根據(jù)△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根據(jù)AE是BC邊上的中線，得出BC，最后根據(jù)AC=BC即可得出答案．
點評：此題考查了全等三角形的性質與判定，用到的知識點是三角形的中線、全等三角形的判定與性質、余角的性質，關鍵是在較復雜的圖形中找出全等的三角形，利用AAS證出△DBC≌△ECA．