如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A(-2,0)、B(4,0),與y軸交于點C(0,3),連接BC、AC,該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸相交于點D.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式、點D的坐標及直線BC的函數(shù)解析式;
(2)點Q在線段BC上,使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△ABC相似,求出點Q的坐標;
(3)在(2)的條件下,若存在點Q,請任選一個Q點求出△BDQ外接圓圓心的坐標.
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A(-2,0)、B(4,0),
與y軸交于點C(0,3),
∴設二次函數(shù)為y=a(x+2)(x-4),把點C(0,3)代入得,a(0+2)(0-4)=3,
解得a=-
3
8
,
∴這個一次函數(shù)的解析式為:y=-
3
8
x2+
3
4
x+3;
∵y=-
3
8
x2+
3
4
x+3=-
3
8
(x-1)2+
27
8
,
∴拋物線的對稱軸是直x=1,
∴點D的坐標為(1,0). 
設直線BC的解析式為;y=kx+b(k≠0),
4k+b=0
b=3
,解得
k=-
3
4
b=3
,
∴直線BC的解析式為y=-
3
4
x+3.

(2)∵A(-2,0),B(4,0),C(0,3),D(1,0),
∴OD=1,BD=3,CO=3,BO=4,AB=6,
∴BC=
OB2+OC2
=
42+32
=5,
如圖1,當∠QDB=∠CAB時,
QB
CB
=
DB
AB
,
QB
5
=
3
6
,解得QB=
5
2

過點Q作QH⊥x軸于點H,
∵OC⊥x軸,
∴QHCO.
QH
3
=
5
2
5
.解得QH=
3
2

把y=
3
2
代入y=-
3
4
x+3,得x=2.
∴此時,點Q的坐標為(2,
3
2
);
如圖2,當∠DQB=∠CAB時,
QB
AB
=
DB
CB
,即
QB
6
=
3
5
,得QB=
18
5

過點Q作QG⊥x軸于點G,
∵OC⊥x軸,
∴QGCO.
QG
3
=
18
5
5
.解得QG=
54
25

把y=
54
25
代入y=-
3
4
x+3,得x=
28
25

∴此時,點Q的坐標為(
28
25
54
25
).
綜上所述,點Q坐標為(2,
3
2
)或(
28
25
,
54
25
);

(3)當點Q的坐標為(2,
3
2
)時,設圓心的M(
5
2
,y).
∵MD=MQ,
∴(
5
2
-1)2+y2=(
5
2
-2)2+(y-
3
2
2,解得y=
1
12
,
∴M(
5
2
,
1
12
).
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(1,-4)和(-2,5),請解答下列問題:(1)求拋物線的解析式;
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(2)求這個函數(shù)的解析式;
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矩形ABCD的邊長AB=3,AD=2,將此矩形放在平面直角坐標系中,使AB在x軸的正半軸上,點A在點B的左側,另兩個頂點都在第一象限,且直線y=
3
2
x-1
經(jīng)過這兩個頂點中的一個.
(1)求A、B、C、D四點坐標;
(2)以AB為直徑作⊙M,記過A、B兩點的拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P.
①若P點在⊙M和矩形內(nèi),求a的取值范圍;
②過點C作CF切⊙M于E,交AD于F,當PFAB時,求拋物線的函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

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如圖,正方形ABCD的邊長為4,點P是AB上不與A、B重合的任意一點,作PQ⊥DP,Q在BC上,設AP=x,BQ=y,
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)求函數(shù)圖象的頂點坐標,并作出大致圖象.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(6999•重慶)如的,二次函數(shù)y=96+29+c的的象與9軸只有一個公共點P,與y軸的交點為Q.過點Q的直線y=69+m與9軸交于點A,與這個二次函數(shù)的的象交于另一點2,若S△2PQ=3S△APQ,求這個二次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,已知:拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,經(jīng)過B、C兩點的直線是y=
1
2
x-2,連接AC.
(1)B、C兩點坐標分別為B(______,______)、C(______,______),拋物線的函數(shù)關系式為______;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC(頂點D、E、F、G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點的坐標;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某服裝公司試銷一種成本為每件50元的T恤衫,規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本價,又不高于每件70元,試銷中銷售量y(件)與銷售單價x(元)的關系可以近似的看作一次函數(shù)(如圖).
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)設公司獲得的總利潤(總利潤=總銷售額-總成本)為P元,求P與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;根據(jù)題意判斷:當x取何值時,P的值最大,最大值是多少?

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同步練習冊答案