Question

△ABC中，已知∠BAC=15°，AD平分∠BAC，過A作DA的垂線交直線BC于M，若BM=AC+BA．求∠ABC、∠ACB的度數(shù)．

Answer 1

分析：此題應(yīng)分兩種情況討論①當(dāng)過A作AD的垂線交BC延長于點(diǎn)M時(shí)，延長BA到C，使AC′=AC，連接C′M，BM=AB+AC，根據(jù)各角的關(guān)系可得解．
②當(dāng)過A作AD的垂線交CB延長線于點(diǎn)M時(shí)，延長BA到C′，使AC′=AC，連接CC′，C′M，BM=AB+AC，
根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得對(duì)應(yīng)角的關(guān)系，求解即可．

解答：解：分兩種情況討論計(jì)算：
（1）當(dāng)過A作AD的垂線交BC延長于點(diǎn)M時(shí)，延長BA到C，使AC′=AC，連接C′M（如圖），則BM=AB+AC=AB+AC′=BC′
∴∠C′=∠C′MB，
已知AD平分∠BAC，AM⊥AD，
∴AM平分∠CAC′，
∴△ACM≌△AC′M（AAS），
∴∠AC′M=∠ACM=∠C′MB，
在△BC′M中，∠B+∠C′+∠C′MB=180°，
∴∠B+∠ACM+∠ACM=180°，
∴∠B+2（∠BAC+∠B）=180°，解得∠B=50°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=115°；

（2）當(dāng)過A作AD的垂線交CB延長線于點(diǎn)M時(shí)，
延長BA到C′，使AC′=AC，連接CC′，C′M（如圖），
則BM=AB+AC=AB+AC′=BC′，
∴∠MC′A=∠MBA，
∵∠MAD=90°，∴∠MAC=90°+

∠BAC

2

=97.5°，
又∵∠C′AC=180°-∠BAC=165°，
∴∠C′AM=360°-∠CAC′-∠MAC=97.5°=∠CAM，
∵AM=AM，
∴△AC′M≌△ACM（SAS），
∴∠AC′M=∠ACB，
在△MC′C中，∠C′MB+∠MCC′+∠MCC′=180°，
∴∠MC′A+∠MCA+∠ACC′+∠MC′A+∠AC′C=180°，
∴3∠ACM+∠CAB=180°，
∴∠ACB=

1

3

（180°-15°）=55°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=110°，
綜上得∠ABC=50°，∠ACB=115°或∠ABC=110°，∠ACB=55°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．理解題意正確作出圖形及輔助線是解題的關(guān)鍵．