Question

11．某公司生產(chǎn)的某種商品每件成本為20元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)40天內(nèi)的日銷(xiāo)售量m（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間t（天）	1	3	5	10	36	…
日銷(xiāo)售量m（件）	94	90	86	76	24	…

未來(lái)40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₂=-$\frac{1}{2}$t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）．
       下面我們就來(lái)研究銷(xiāo)售這種商品的有關(guān)問(wèn)題：
（1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿(mǎn)足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來(lái)40天中哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （1）從表格可看出每天比前一天少銷(xiāo)售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×每件利潤(rùn)，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論．

解答 解：（1）經(jīng)分析知：m與t成一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)m=kt+b（k≠0），
將t=1，m=94，t=3，m=90
代入$\left\{\begin{array}{l}{94=k+b}\\{90=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m=-2t+96；

（2）前20天日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P₁元，后20天日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P₂元，
則P₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=-$\frac{1}{2}$（t-14）²+578，
∴當(dāng)t=14時(shí)，P₁有最大值，為578元．
P₂=（-2t+96）•（$\frac{1}{2}$t+40-20）=-t²+8t+1920=（t-44）²-16，
∵當(dāng)21≤t≤40時(shí)，P₂隨t的增大而減小，
∴t=21時(shí)，P₂有最大值，為513元．
∵513＜578，
∴第14天日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為578元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性；（2）最值問(wèn)題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．同時(shí)注意自變量的取值范圍．