Question

已知是半圓的直徑, 點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合), 以為直徑的半圓與半圓交于點(diǎn)的平分線與半圓交于點(diǎn).
如圖甲, 求證: 是半圓的切線;
如圖乙, 作于點(diǎn), 猜想與已有的哪條線段的一半相等, 并加以證明;
如圖丙, 在上述條件下, 過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn), 當(dāng)與半圓相切時(shí), 求

甲                                乙                                 
的正切值.

Answer 1

角度轉(zhuǎn)換；三角形全等的變換；3

試題分析：(1) 如圖甲, 連接, 則為半圓的半徑, 而為半圓的直徑, 所以,
即是半圓的切線;
(2) 猜想: .
證1: 如圖乙, 以為直徑作⊙, 延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn),連接,
∵, ∴∵平分, ∴,
∴, ∴;

甲                        乙                        丙                     丁
證2: 如圖丙, 連接相交于點(diǎn). ∵平分, ∴,
∴, ∴可證, ∴;
(3) 如圖丁, 延長(zhǎng)交于點(diǎn), 設(shè), 則,
∵四邊形是矩形, ∴, 同(2)證法是中點(diǎn),
∴是中點(diǎn), ∴,
可證∽, ∴, 即, 解得或.
當(dāng)時(shí), 點(diǎn)與點(diǎn)重合, 舍去; 當(dāng)時(shí), .
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．