Question

在平面直角坐標(biāo)系中（單位長度：1cm），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0），（2，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿折線AOy運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以1cm/s的速度沿折線BOy運(yùn)動(dòng)．
（1）在運(yùn)動(dòng)開始后的每一時(shí)刻一定存在以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形嗎？如果存在，那么以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形相似嗎？以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形會(huì)同時(shí)成為等腰直角三角形嗎？請(qǐng)分別說明理由．
（2）試判斷t=(2+4

2

)s時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑的圓與以點(diǎn)B為圓心、BQ半徑的圓的位置關(guān)系；除此之外⊙A與⊙B還有其他位置關(guān)系嗎？如果有，請(qǐng)求出t的取值范圍．
（3）請(qǐng)你選定某一時(shí)刻，求出經(jīng)過三點(diǎn)A、B、P的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)P、Q在y軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能夠成△AOP和△BOQ，因此當(dāng)t≤2時(shí)，構(gòu)不成三角形．當(dāng)t＞2時(shí)，可構(gòu)成以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、O、Q為頂點(diǎn)的三角形．
兩三角形相似，這兩個(gè)三角形中，已知了一組直角，而通過計(jì)算不難的這兩個(gè)直角三角形的直角邊也對(duì)應(yīng)成比例，因此兩三角形相似．
②由于兩三角形相似，因此兩者一定會(huì)同時(shí)成為等腰直角三角形，要使兩三角形成為等腰直角三角形，以三角形OAP為例：OA=OP=4，因此t=4．即可當(dāng)t=4s時(shí)，兩三角形同時(shí)成為等腰直角三角形．
（2）①可計(jì)算出當(dāng)t=2+4

2

時(shí)AP，BQ的長即兩圓的半徑長，然后比較兩圓的半徑和圓心距即AB的距離即可判斷出兩圓的位置關(guān)系．
②同①可根據(jù)兩圓的半徑長即AP、BQ的長和圓心距AB的長來求出不同的圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，t的取值范圍．

解答：解：（1）①不一定．例如：當(dāng)t≤2s時(shí)，點(diǎn)A、O、P與點(diǎn)B、O、Q都不能構(gòu)成三角形．
②當(dāng)t＞2s時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P、Q在y軸的正半軸上時(shí)，△AOP∽△BOQ．
這是因?yàn)椋?span id="tdptzn1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AO

BO

=

4

2

=2，

OP

OQ

=

2t-OA

t-OB

=

2t-4

t-2

=2，∠AOP=∠BOQ=90度．
③會(huì)成為等腰直角三角形．
這是因?yàn)椋寒?dāng)OA=OQ=4時(shí)，OA+OQ=8，即當(dāng)t=4s時(shí)，△AOP為等腰直角三角形．
同理可得，當(dāng)t=4s時(shí)，△BOQ為等腰直角三角形．
（2）當(dāng)t=（2+4

2

）s時(shí)，OP=2（2+4

2

）-4=8

2

cm，
∴AP=

42+(8 2 )2

=12（cm），
同理可得BQ=6cm，
∴AB=AP-BQ，
∴此時(shí)⊙A與⊙B內(nèi)切．
②有．當(dāng)外離時(shí)，0＜t＜2；
當(dāng)外切時(shí)，t=2；
當(dāng)相交時(shí)，2＜t＜2+4

2

；
當(dāng)內(nèi)含時(shí)，t＞2．
（3）當(dāng)t=3s時(shí)，OP=2×3-4=2（cm），此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、P的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

0=16a-4b+c 0=4a+2b+c 2=c

解得

a=- 1 4 b=- 1 2 c=2

故所求解析式為y=-

1

4

x²-

1

2

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)．