Question

如圖：在等腰△ABC中，AB=AC，AD上BC，垂足為D，以AD為直徑作⊙0，⊙0分別交AB、AC于E、F．
（1）求證：BE=CF；
（2）設AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10，求⊙0的半徑．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,圓周角定理

專題：計算題

分析：（1）連接DE，DF，由AB=AC，且AD為BC邊上的高，利用三線合一得到D為BC的中點，AD為頂角平分線，再由AD為圓O的直徑，利用直角所對的角為直角得到一對直角相等，利用AAS得到三角形EBD與三角形FCD全等，由全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，得證；
（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，確定出AE：AB=AF：AC，且夾角相等，得到三角形AEF與三角形ABC相似，由相似三角形的對應邊成比例得到AG：AD=8：10，設AG=8x，AD=10x，連接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出圓O的半徑．

解答：（1）證明：連接DE、DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAC=∠BAC，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
在△DBE和△DCF中，

∠BED=∠CFD=90° ∠B=∠C BD=CD

，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵BE=CF，
∴AB-BE=AC-FC，即AE=AF，
∵

AE

AB

=

AF

AC

，且∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AG

AD

=

EF

BC

=

8

10

，
∴設AG=8x，AD=10x，
連接EO，在Rt△OEG中，根據勾股定理得：OE²=OG²+EG²，
即（5x）²=（3x）²+4²，
解得：x=1，
∴5x=5，
則⊙O的半徑為5．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．