Question

（2002•天津）已知二次函數(shù)y₁=x²-2x-3．
（1）結(jié)合函數(shù)y₁的圖象，確定當x取什么值時，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，確定函數(shù)y₂=（|y₁|-y₁）關(guān)于x的解析式；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與函數(shù)y₂的圖象交于三個不同的點，試確定實數(shù)k與b應滿足的條件？

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)圖象可以很容易的得出y₁＞0，y₁=0，y₁＜0時x所取的值；
（2）由圖象可以看出，當x≤-1或x≥3時，|y₁|=y₁；當-1＜x＜3時，|y₁|=-y₁，則可分段確定出y₂關(guān)于x的解析式；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y₂的圖象有三個交點，只需一次函數(shù)的圖象與函數(shù)y₂的圖象在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有兩個交點即可．
解答：解：（1）畫出函數(shù)y₁=x²-2x-3的圖象，
利用它的圖象可知：當x＜-1或x＞3時，y₁＞0；
當x=-1或x=3時，y₁=0；
當-1＜x＜3時，y₁＜0；

（2）根據(jù)（I）的結(jié)論，可得
當x≤-1或x≥3時，|y₁|=y₁，
于是函數(shù)y₂=（|y₁|-y₁）=（y₁-y₁）=0，
當-1＜x＜3時，|y₁|=-y₁，
于是函數(shù)y₂=（|y₁|-y₁）=（-y₁-y₁）=-y₁
∴函數(shù)y₂關(guān)于x的解析式為；

（3）由題設條件，k≠0時，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y₂的圖象有三個交點，
只需一次函數(shù)的圖象與函數(shù)y₂的圖象在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有兩個交點，
即方程組有兩個不等的實數(shù)根，
消去y，得：
x²+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函數(shù)y=x²+（k-2）x+（b-3）的圖象與x軸的兩個交點在-1＜x＜3范圍
內(nèi)．此時，應同時滿足以下三個條件：
①判別式△=（k-2）²-4（b-3）＞0．
即b＜+3，
②二次函數(shù)y=x²+（k-2）x+（b-3）圖象的對稱軸為x=滿足-1＜-＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③當x=-1與x=3時，y=x²+（k-2）x+（b-3）的函數(shù)值均應大于0，
即
解得
∴當k＞0時，有b＞k；
當k＜0時，有b＞-3k．
綜上，由（1）（2）（3）知，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與函數(shù)y₂的圖象有三個不
同的交點時，應滿足或．
點評：本題考查了由函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式以及直線與拋物線的交點問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．