Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對(duì)角線AC交于A，E兩點(diǎn)．不難發(fā)現(xiàn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化．如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)．若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，則相對(duì)應(yīng)的AP的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】＜AP＜或AP＝5．

【解析】

在Rt△ABC中，直接由勾股定理可求出AC，連接PF，則PF⊥CD，由AB⊥AC和四邊形ABCD是平行四邊形，得PF∥AC，可證明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的長(zhǎng)，有兩種情況：①與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)；②⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，可分別寫出結(jié)論．

解：∵平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，

∴BC＝AD＝10，

∵AB⊥AC，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，

如圖2所示，連接PF，

設(shè)AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x＝，

即AP＝；

當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，如圖3，

∴SABCD＝×6×8×2＝10PG，

∴PG＝，

①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，＜AP＜，即此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；

②⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，如圖4，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，此時(shí)AP＝5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝5，

故答案為：＜AP＜或AP＝5．