Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，）兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b， 把A，B的坐標(biāo)代入得：k=﹣，b=， 所以直線AB的解析為：y=x+； （2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，x+）， 那么OD=x，CD=x+． ∴S梯形OBCD==． 由題意得：=， 解得：x1=2，x2=4（舍去）， ∴C（2，）； （3）當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，如圖： ①，若△BOP∽△OBA， 則∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3， ∴P1（3，）； ②若△BPO∽△OBA， 則∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1． ∴P2（1，）； 當(dāng)∠OPB=90°時(shí)， ③過點(diǎn)P作OP⊥AB于點(diǎn)P（如圖）， 此時(shí)△PBO∽△OBA， ∠BOP=∠BAO=30°， 過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M． 在Rt△PBO中，BP=OB=，OP=BP=． ∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°， ∴OM=OP=；PM=OM=． ∴P3（，）； ④若△POB∽△OBA（如圖）， 則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°． ∴PM=OM=． ∴P4（，）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)P4的坐標(biāo)）． 當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求． 綜上所述得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是： P1（3，），P2（1，），P3（，）， P4（，）．