Question

在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b+2（k≠0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出△OAB的面積，令其等于|OA|+|OB|+3即可用b表示k；
（2）化簡(jiǎn)所求式子后根據(jù)配方法即可求出△OAB面積的最小值．

解答：解：（1）令x=0，得y=b+2，b+2＞0，b＞-2；
令y=0，得x=-

b+2

k

＞0，k＜0．
所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-

b+2

k

，0），B（0，b+2），
于是，△OAB的面積為S=

1

2

（-

b+2

k

）（b+2）．
由題意，有

1

2

（-

b+2

k

）（b+2）=（-

b+2

k

）+（b+2）+3，
解得k=

-b2-2b

2(b+5)

；

（2）由（1）知S=

1

2

（-

b+2

k

）（b+2）=

(b+2)(b+5)

b

=b+

10

b

+7=（

b

-

10 b

）²+7+2

10

≥7+2

10

．
所以，△OAB面積的最小值為 7+2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的最值及三角形的面積，難度一般，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出用b表示k后由配方法即可得出答案．