Question

【題目】如圖，拋物線過x軸上兩點A（9，0），C（﹣3，0），且與y軸交于點B（0，﹣12）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．

①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBNA面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不存在這樣的點M，理由見解析；②，四邊形CBNA面積的最大值為．

【解析】

（1）先根據點設拋物線的頂點式，再將點代入求解即可得；

（2）①先求出直線AB的解析式，從而可設點M、N的坐標分別為，，從而可得，再根據平行四邊形的性質可得，然后利用一元二次方程的根的判別式即可得出答案；

②先根據點的坐標分別求出的長，再根據三角形面積公式可求出的面積，從而可得出四邊形CBNA面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質求解即可得．

（1）因為拋物線過x軸上兩點

所以設拋物線解析式為

將點代入得：

解得

則拋物線解析式為

即；

（2）如圖，設直線AB的解析式為

將點代入得：，解得

則直線AB的解析式為

由題意，可設點M的坐標為，點N的坐標為

則

①若四邊形OMNB為平行四邊形，則

即

整理得：

此方程的根的判別式，方程無實數(shù)根

則不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②

點B到MN的距離等于，點A到MN的距離等于

因為M為線段AB上一個動點

所以

由二次函數(shù)的性質可知，當時，隨m的增大而增大；當時，隨m的增大而減小

則當時，取得最大值，最大值為

此時，

故點M的坐標為．