Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得： ，

解之得： ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵對(duì)稱軸為x=﹣1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），

∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，

得 ，

解之得： ，

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）解：設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=﹣1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．

把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，

∴M（﹣1，2），

即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（﹣1，2）；

（3）解：設(shè)P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，

①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；

②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1= ，t2= ；

綜上所述P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ） 或（﹣1， ）．

【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=﹣1拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，求出函數(shù)解析式，再求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)B，將B、C兩點(diǎn)分別代入直線y=mx+n，即可求出此函數(shù)解析式。
（2）由于點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，因此設(shè)直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小，把x=﹣1代入直線y=x+3，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)。
（3）P（﹣1，t），由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別求出BC2、PB2、PC2，再分三種情況討論：①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，建立方程，求出符合題意的t的值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。