Question

如圖1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
（1）如圖2，若點(diǎn)C、A、D在同一條直線上，且點(diǎn)E在AB上，連接CE、BD，試判斷CE與BD有什么樣的關(guān)系，并說明理由．
（2）將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，同樣連接CE、BD，（1）中的結(jié)論還成立嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊相等和直角相等，可以證明△ACE和△ABD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到CE=BD，全等三角形對應(yīng)角相等得到∠ACE=∠ABD，又∠AEC=∠BEM，所以∠BME=∠CAE=90°，所以CE⊥BD．
（2）結(jié)論和證明思路與（1）相同．

解答：解：（1）CE=BD，CE⊥BD．
證明如下：在圖2中，延長CE交BD于點(diǎn)M，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，
∴AC=AB，AE=AD，
在△ACE和△ABD中，

AC=AB ∠BAC=∠DAE=90° AE=AD

∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，
又∠AEC=∠BEM，
而∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BEM=90°，
∴∠CMB=90°，
∴CE⊥BD；

（2）（1）中的結(jié)論CE=BD，CE⊥BD成立，
延長BD交CE于點(diǎn)M．
證明過程與（1）相同．

點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；作出輔助線結(jié)合圖形弄清楚解題思路是求解的關(guān)鍵．