Question

如圖，△ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的外角平分線CF于點F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E．
（1）試說明EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；
（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．
（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．

解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）當點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形．
如圖AO=CO，EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB，
同理，∠ACF=

1

2

∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACG）=

1

2

×180°=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形
∵四邊形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點評：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對（3）進行判斷．解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運用．