Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO．
（1）試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（ 2 ）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連接OP．若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）試問在（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得
|TO-TB|的值最大？若存在，則求出點(diǎn)T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，AD=BM，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于M點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1.5，2）；B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），以及圖象過（0，0），得出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）因?yàn)門D=TB，所以求|TO-TB|的值最大轉(zhuǎn)化為求|TO-TD|的最大值，只有T、D、O在同一條直線上的時(shí)候，才能取得最大值，最大值為OD的長度，因此延長DO，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求之T點(diǎn)．

解答：解：（1）∵OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO．
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1.5，2）；

（2）根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1.5，2）；B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），
以及圖象過（0，0），
∴代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax ²+bx+c，
∴

2= 9 4 a- 3 2 b+c 2=9a+3b+c c=0

，
解得：

a= 4 9 b=- 2 3 c=0

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=

4

9

x ²-

2

3

x，
假設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為：

4

9

x ²-

2

3

x，
∴當(dāng)△DAO∽△PQO，
∴

DA

PQ

=

AO

OQ

，
∴

3 2

4 9 x2- 2 3  x

=

2

x

，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=

51

16

，
當(dāng)x=

51

16

時(shí)，y=

4

9

x ²-

2

3

x=

153

64

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

51

16

，

153

64

），
當(dāng)△DAO∽△OQP，
∴

DA

OQ

=

AO

PQ

，
∴

3 2

x

=

2

4 9 x2- 2 3 x

，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=4.5，
當(dāng)x=4.5時(shí)，y=

4

9

x ²-

2

3

x=6，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4.5，6），
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4.5，6）或（

51

16

，

153

64

）；

（3）因?yàn)門D=TB，所以求|TO-TB|的值最大轉(zhuǎn)化為求|TO-TD|的最大值，
T、D、O組成三角形，根據(jù)兩邊之差小于第3邊，即|TO-TD|＜OD，
只有T、D、O在同一條直線上的時(shí)候，才能取得最大值，最大值為OD的長度，
因此延長DO，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求之T點(diǎn)，
將D（-1.5，2），O（0，0）代入y=kx+b，
k=-

4

3

，
y=-

4

3

x，
∴x=

3

4

，
y=-1，
即T點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

4

，-1），
故使得|TO-TB|的值最大T點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

4

，-1）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的應(yīng)用等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及等量代換思想的靈活應(yīng)用．