Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，動點(diǎn)P以2米/秒得速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C移動，同時，動點(diǎn)Q以1米/秒得速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向B移動。當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，他們都停止移動，設(shè)移動的時間為t秒。

1.求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式；

2.在P、Q移動的過程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時，求出t的值；

3.以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值。

 

Answer 1

在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米

由題意得：AP=2t，CQ=10-2t

1.過點(diǎn)Q作QE⊥PC于點(diǎn)E

易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴，QE=

∴S=……2分

2.當(dāng)秒（此時PC=QC），秒（此時PQ=QC），或秒（此時PQ=PC）

△CPQ為等腰三角形；                         

 

3.過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，則有△PCF∽△ACB

∴，即

∴PF=，F(xiàn)C=                     

則在Rt△PFQ中，

當(dāng)⊙P與⊙Q外切時，有PQ=PA+QC=3t，此時

整理得：，解得

故⊙P與⊙Q外切時，；                       

當(dāng)⊙P與⊙Q內(nèi)切時，有PQ=PA-QC=t，此時

整理得：，解得

故⊙P與⊙Q內(nèi)切時        

解析:

1.過點(diǎn)P，作PD⊥BC于D，利用30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得PD的長，然后利用三角形的面積公式即可求解；

2.分PC=QC和PC=QC兩種情況進(jìn)行討論，求解；

3.PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，分為兩圓外切和內(nèi)切兩種情況進(jìn)行討論．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到關(guān)于t的方程，從而求解．