Question

如圖所示，己知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，點E在AB上，且EA=EC。

(1)求證：AC²=AE?AB

(2)延長EC到點P，連結(jié)PB，若PB=PE，試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

(1)證明：連結(jié)BC，因為AB⊥CD，CD為⊙O的直徑，所以BC=AC，所以∠1=∠2，

又因為AE=CE,所以∠1=∠3，所以△AEC∽△ACB，所以，

即AC²=AB?AE。

 (2)PB與⊙O相切，理由：連結(jié)OB，因為PB=PE，所以∠PBE=∠PEB，

因為∠l=∠2=∠3，所以∠PEB=∠1+∠3=2∠1，而∠PBE=∠2+∠PBC，

所以∠OBC=∠OCB，而Rt△BCF中，∠OCB=90°一∠2=90°一∠1，

所以∠OBC=90°一∠l，所以∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠1+(90°一∠1)=90°，

所以PB⊥OB，即PB為⊙O的切線。(證明方法不唯一)