Question

已知：如圖，⊙O與⊙O′內切于點B，BC是⊙O的直徑，BC=6，BF為⊙O′的直徑，BF=4，⊙O的弦BA交⊙O′于點D，連接DF、AC、CD．
（1）求證：DF∥AC；
（2）當∠ABC等于多少度時，CD與⊙O′相切并證明你的結論；
（3）在（2）的前提下，連接FA交CD于點E，求AF、EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角，就可以證出結論；
（2）當∠ABC=30°時，CD與⊙O相切．連接O′D，證明CD與⊙O’相切可以證明∠O′DC=90°就可以；
（3）在Rt△ADF中根據勾股定理就可以求出AF的長，然后利用相似三角形的對應邊的比相等即可求得EF的長．

解答：（1）證法一：∵BC是⊙O的直徑，BF是⊙O′的直徑，（1分）
∴∠BDF=∠BAC=90°，（2分）
∴DF∥AC；（3分）
證法二：過點B作兩圓的外公切線MN，（1分）
∵∠MBA=∠DFB，∠MBA=∠ACB，
∴∠DFB=∠ACB；（2分）

（2）解：當∠ABC=30°時，CD與⊙O相切．（4分）
法一：連接O′D，
∵⊙O′的直徑BF=4，⊙O的直徑BC=6，
∴O′F=2；（5分）
在Rt△BFD中，由BF=4，∠ABC=30°，
∴DF=2，
∴DF=O′F=FC=2，（6分）
∴△O′DC為直角三角形，
∴∠O′DC=90°；
又∵點D在⊙O′上，
∴CD與⊙O’相切；（7分）
法二：∵⊙O’的直徑BF為4，⊙O的直徑BC為6，
∴FC=2，
在Rt△BDF中，BF=4，∠ABC=30°，
∴DF=2，∠BFD=60°，
∴DF=FC，
∴∠DCB=∠FDC=30°；（5分）
連接O′D，∠DO′C=2∠B=60°，（6分）
∴∠O′DC=90°，即O′D⊥DC，
又∵點D在⊙O⊙O′上，
∴CD與⊙O⊙O′相切；（7分）

（3）解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，BC=6，
∴AC=3，AB=3

3

；
在Rt△DBF中，∠ABC=30°，BF=4，
∴DF=2，BD=2

3

，（8分）
∴AD=

3

；
在Rt△ADF中，AF²=AD²+DF²=7；
∵DF∥AC，
∴EF：AE=DF：AC=

2

3

，
∴EF：AF=

2

5

，
∴EF=

2

5

7

，AF=

7

．（10分）

點評：本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，以及切線的證明，證明經過半徑的外端點，且垂直于這條半徑．