Question

如圖，等邊三角形ABO放在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A位于第二象限．已知點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿O→B→A→O→B來(lái)回運(yùn)動(dòng)一次，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某個(gè)時(shí)刻，使得P、Q兩點(diǎn)與點(diǎn)O或點(diǎn)A構(gòu)成的三角形為直角三角形，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與點(diǎn)O或點(diǎn)A構(gòu)成的三角形為直角三角形時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：（1）△OPQ為直角三角形，由于∠POQ≤60°≠90°，那么可能①∠OQP=90°；②∠OPQ=90°；（2）如果△APQ為直角三角形，那么點(diǎn)P不能在OB上，也不能在OA上，則只能在AB上，此時(shí)∠PAQ=60°≠90°，那么可能①∠APQ=90°；②∠AQP=90°．

解答：解：在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在時(shí)刻t=

24

7

，使得P、Q兩點(diǎn)與點(diǎn)A構(gòu)成的三角形為直角三角形，理由如下：
（1）如果△OPQ為直角三角形，那么∠POQ≤60°≠90°，那么可能∠OQP=90°或者∠OPQ=90°．
①當(dāng)∠OQP=90°時(shí)，點(diǎn)P不能在OB上（因?yàn)榇藭r(shí)OP=2OQ與OP=4OQ矛盾），也不能在OA上，則只能在AB上，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M．
∵OB+BP=4t，∴BP=4t-8，
∴BM=

1

2

BP=2t-4，PM=

3

BM=2

3

t-4

3

，OM=OB-BM=12-2t．
∵OQ=t，∴AQ=OA-OQ=8-t，
∴PQ=

3

AQ=8

3

-

3

t．
在△OQP中，∵∠OQP=90°，∴OQ²+PQ²=OP²，
∴t²+（8

3

-

3

t）²=（2

3

t-4

3

）²+（12-2t）²，
整理，得12t²-48t=0，解得t=4或0，
當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，不合題意，t=0也不合題意；
②當(dāng)∠OPQ=90°時(shí)，OQ＞OP，點(diǎn)P不能在OB上，因?yàn)辄c(diǎn)Q始終在OA上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P只能在OB上，而點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，所以O(shè)Q＜OP，與OQ＞OP矛盾；也不能在OA上；則可能在AB上，如圖2．
∵OQ＞OP＞0，∴OQ²＞OP²，
∴t²＞8²+（4t-8）²-2×8×（4t-8）×

1

2

，
整理，得15t²-96t+192＜0，
∵△=（-96）²-4×15×192=-2304＜0，
∴此時(shí)t無(wú)解，點(diǎn)P不能在AB上；
 即∠OPQ=90°不可能；
（2）如果△APQ為直角三角形，那么點(diǎn)P不能在OB上，也不能在OA上，則只能在AB上，此時(shí)∠PAQ=60°≠90°，那么可能∠APQ=90°或者∠AQP=90°．
①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖3．
在△APQ中，∵∠APQ=90°，∠A=60°，
∴AP=

1

2

AQ，即16-4t=

1

2

（8-t），
解得t=

24

7

．
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，由上可知
OM=12-2t=12-2×

24

7

=

36

7

，PM=2

3

t-4

3

=2

3

×

24

7

-4

3

=

20 3

7

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

36

7

，

20 3

7

）；
②當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，如圖1．
在△APQ中，∵∠AQP=90°，∠A=60°，
∴AQ=

1

2

AP，即8-t=

1

2

（16-4t），
解得t=0（不合題意舍去）．
綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

36

7

，

20 3

7

）．
故答案為（-

36

7

，

20 3

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．