Question

如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E．

（1）求證：AB·AF＝CB·CD；

（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)DP＝x cm（），四邊形BCDP的面積為y cm²．

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)y的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵，，∴DE垂直平分AC，

∴,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．

∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，

∴△DCF∽△ABC．

∴，即．∴AB·AF＝CB·CD．

（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，

 ∴，∴．

∴（）．

②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB＋PC最�。�由（1）知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最�。�

顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB+PA最小．此時(shí)DP＝DE，PB+PA＝AB．

由（1），，，得△DAF∽△ABC．

EF∥BC，得，EF=．

∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．

Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．

∴．

∴當(dāng)時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．

【解析】（1）根據(jù)已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；

（2）①根據(jù)勾股定理求出AC，求出CF的長(zhǎng)，得出四邊形BCDP是梯形，根據(jù)梯形的面積公式得出即可；②求出CP+BP最小時(shí)，△BCP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)對(duì)稱得出當(dāng)P到E時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，證△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．