Question

如圖△ABC內(nèi)接于圓O，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交圓O于點(diǎn)D．
（1）求證：BD=DI；
（2）若OI⊥AD，求

AB+AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）要證明ID=BD，利用內(nèi)心的定義可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所對的圓周角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)外角的和，即可證得∠BID=∠IBD，利用等邊對等角即可證得；
（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，證得：Rt△BDE≌Rt△AIG，則AG=BE=

1

2

BC，根據(jù)直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得：AG=

1

2

（AB+AC-BC），再根據(jù)AB+AC=2BC即可求解．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）解：連接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I為△ABC內(nèi)心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=

1

2

（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=

1

2

BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=

1

2

BC，但AG=

1

2

（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴

AB+AC

BC

=2．

點(diǎn)評：考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，正確證明Rt△BDE≌Rt△AIG是關(guān)鍵．