Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系的單位是厘米，直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x軸、y軸相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)B以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，以C點(diǎn)為圓心作半徑為1cm的⊙C
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)⊙C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)⊙C和坐標(biāo)軸相切時(shí)，則時(shí)間t的值是

2

3

秒或4-

2

9

3

秒或4+

2

9

3

秒

：（直接寫(xiě)出答案，不必寫(xiě)推理過(guò)程．）
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，另有動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿射線(xiàn)OA以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，以P點(diǎn)為圓心作半徑為3cm的⊙P；若點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)分別從點(diǎn)B、點(diǎn)O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在一點(diǎn)P，使⊙P與⊙C相外切？如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A(yíng)、B 兩點(diǎn)，即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分別從當(dāng)⊙C與y軸相切時(shí)，當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸下方時(shí)與當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸上方時(shí)去分析，利用切線(xiàn)的性質(zhì)由相似三角形的性質(zhì)，即可求得答案；
（3）過(guò)C作CM⊥x軸于M，連接CP，求出AC，CM，PM，CP，根據(jù)勾股定理得出方程，求出t的值，即可得出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

x-6

3

，分別與x 軸y軸相交于A(yíng)、B 兩點(diǎn)．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-6

3

，當(dāng)y=0時(shí)，x=6，
∴A（6，0），B（0，-6

3

）；

（2）∵A（6，0），B（0，-6

3

）；
∴OA=6，OB=6

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=12，
當(dāng)⊙C與y軸相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，連接CD，
則CD⊥y軸，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BAO，
∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，
∴BC=2，
∵動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BA以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，
∴t=

2

3

；
當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸下方時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，則CE⊥x軸，
∴CE∥OB，
∴△AEC∽△AOB，
∴EC：OB=AC：AB，
即1：6

3

=AC：12，
解得：AC=

2

3

3

，
∴BC=AC-EC=12-

2

3

3

，
∴t=4-

2

9

3

；
當(dāng)⊙C與x軸相切，且在x軸上方時(shí)，BC=12+

2

3

3

，
∴t=4+

2

9

3

；
綜上t=

2

3

或t=4-

2

9

3

或t=4+

2

9

3

；
故答案為：

2

3

秒或4-

2

9

3

秒或4+

2

9

3

秒；


（3）
存在一點(diǎn)P，使⊙P與⊙C相外切，
理由是：設(shè)t秒后兩圓外切，
如圖有兩種情況：過(guò)C作CM⊥x軸于M，連接CP，
∵⊙P的半徑是3，⊙C的半徑是1，⊙C和⊙P外切，
∴CP=1+3=4，
∵OB=6

3

，OA=6，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=12，
∴∠OBA=30°，∠OAB=60°，
∵BC=3t，AB=12，
∴AC=3t-12，
則CM=AC×sin60°=

(3t-12) 3

2

，AM=

3t-12

2

，
∵OP=2t，
∴MP=2t-6-

3t-12

2

=

1

2

t，
在Rt△CMP中，由勾股定理得：CP²=CM²+MP²，
即16=[

(3t-12) 3

2

]²+（

1

2

t）²，
7t²-54t+92=0，
解得：t₁=

27- 85

7

，t₂=

27+ 85

7

，
∴2t₁=

54-2 85

7

＜6（舍去），2t₂=

54+2 85

7

，
當(dāng)P在P′點(diǎn)，C在C′點(diǎn)時(shí)，同理得出方程16=[

(12-3t) 3

2

]²+（

1

2

t）²，
解得：t₃=

27- 85

7

，t₄=

27+ 85

7

，
∴2t₃=

54-2 85

7

，2t₄=

54+2 85

7

＞6（舍去），
即P的坐標(biāo)是（

54+2 85

7

，0）或（

54-2 85

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系以及一次函數(shù)的性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握方程思想、分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．