Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P點，然后將這個角繞P點轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E．
（1）求證：△BPD∽△CEP；
（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠C，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理求出∠EPC=∠BDP，即可得證；
（2）過點A作AH⊥BC于點H，因為∠DPE=∠B≠90°，所以，分①∠PDE=90°時，利用∠ABH與∠DPE的余弦值相等列式求出=，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；②∠PED=90°時，利用∠ABH與∠DPE的余弦值相等列式求出=，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，
∴∠EPC=∠BDP，
∴△BPD∽△CEP；

（2）解：存在．理由如下：
過點A作AH⊥BC于點H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=×6=3，
∵∠DPE=∠B≠90°，
∴①如圖1，若∠PDE=90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cos∠ABH=cos∠DPE===，
∵△PBD∽△PCE，
∴=，
∵BP=2，
∴PC=BC-BP=6-2=4，
∴=，
解得BD=；
②如圖2，∠PED=90°時，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cos∠ABH=cos∠DPE===，
∵△PBD∽△PCE，
∴==，
∵PC=4，
∴=，
解得BD=＞5（舍去），
綜上所述，BD的長為．
點評：本題是相似三角形綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等角的銳角三角函數(shù)值相等，（2）注意要分情況討論求解．