Question

（本題10分）已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，PD交⊙O于點C、D，PE是⊙O的切線，E為切點，連結(jié)AE，交CD于點F．

（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長；

（2）證明：PE=PF；

Answer 1

（1）CD=8；（2）見解析.

【解析】

試題分析：連接OD，根據(jù)垂徑定理可得：OB=4，OD=8，根據(jù)Rt△OBD的勾股定理求出BD的長度，然后求出CD的長度；（2）根據(jù)切線性質(zhì)可得∠PEO=90°，根據(jù)OA=OE得出∠A=∠AEO，根據(jù)∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A得出∠PEF=∠PFE，從而得出PE=PF.

試題解析：（1）連接OD，∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD， ∴在Rt△OBD中，BD==4， ∴CD=2BD=8；

（2）∵PE是⊙O的切線， ∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，

∵OE=OA， ∴∠A=∠AEO， ∴∠PEF=∠PFE， ∴PE=PF；

考點：垂徑定理、等腰三角形的判定.