20.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D、E、F分別是AC、AB、BC的中點.點P從點D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個單位長的速度勻速運動;點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動,過點Q作射線QK⊥AB,交折線BC-CA于點G.點P、Q同時出發(fā),當(dāng)點P繞行一周回到點D時停止運動,點Q也隨之停止.設(shè)點P、Q運動的時間是t秒(t>0).
(1)D、F兩點間的距離是25;
(2)射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分?若能,求出t的值.若不能,說明理由;
(3)當(dāng)點P運動到折線EF-FC上,且點P又恰好落在射線QK上時,求t的值.

分析 (1)根據(jù)D、E、F分別是AC、AB、BC的中點,運用三角形中位線定理即可求出DF的長;
(2)連接DF,過點F作FH⊥AB于點H,由四邊形CDEF為矩形,QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分,根據(jù)△HBF∽△CBA,對應(yīng)邊的比相等,就可以求得t的值;
(3)①當(dāng)點P在EF上(2$\frac{6}{7}$≤t≤5時根據(jù)△PQE∽△BCA,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,可以求出t的值;②當(dāng)點P在FC上(5≤t≤7$\frac{6}{7}$)時,根據(jù)PB=PF+BF就可以得到t的值.

解答 解:(1)Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,

∵D,F(xiàn)是AC,BC的中點,
∴DF為△ABC的中位線,
∴DF=$\frac{1}{2}$AB=25,
即D、F兩點間的距離是25,
故答案為:25.

(2)射線QK能把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分.
如圖,連接DF,過點F作FH⊥AB于點H,

∵D,F(xiàn)是AC,BC的中點,
∴DE∥BC,EF∥AC,四邊形CDEF為矩形,
∴QK過DF的中點O時,即過矩形CDEF的中點,QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分,
此時QH=OF=12.5.
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,
∴BC=40,
由BF=20,△HBF∽△CBA,可得HB=16.
故t=$\frac{QH+HB}{4}$=$\frac{12.5+16}{4}$=7$\frac{1}{8}$.

(3)①當(dāng)點P在EF上(2$\frac{6}{7}$≤t≤5)時,如圖,QB=4t,DE+EP=7t,

由△PQE∽△BCA,得$\frac{PE}{AB}$=$\frac{QE}{CA}$,
即$\frac{7t-20}{50}$=$\frac{25-4t}{30}$.
∴t=4$\frac{21}{41}$;
②當(dāng)點P在FC上(5≤t≤7$\frac{6}{7}$)時,如圖,已知QB=4t,從而PB=$\frac{QB}{cos∠B}$=$\frac{4t}{\frac{4}{5}}$=5t,

由PF=7t-35,BF=20,可得5t=7t-35+20.
解得t=7$\frac{1}{2}$.
綜上所述,t的值為4$\frac{21}{41}$或7$\frac{1}{2}$.

點評 本題屬于三角形綜合題,主要考查了相似三角形性質(zhì),解題時注意:相似三角形的對應(yīng)邊成比例,正確找出題目中的相似三角形是解題的關(guān)鍵.

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10.化簡下列各式:
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(1)四邊形OABC的形狀是矩形,當(dāng)α=90°時,$\frac{BP}{BQ}$的值是$\frac{4}{7}$.
(2)①如圖2,當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時,求$\frac{BP}{BQ}$的值;
②如圖3,當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在BC的延長線上時,求△OPB′的面積.
(3)在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)0°<α≤180°時,是否存在這樣的點P和點Q,使BP=$\frac{1}{2}$BQ?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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15.如果兩個三角形的兩條邊對應(yīng)相等,夾角互補,那么這兩個三角形叫做互補三角形,如圖2,分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF,則圖中的兩個三角形就是互補三角形.
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