Question

已知α、β是方程x²+5x+1=0的兩個根，求

α β

+

β α

的值．

Answer 1

分析：由已知方程找出a，b及c，計算出b²-4ac的值大于0，故利用根與系數(shù)的關(guān)系求出α+β及αβ的值，根據(jù)α+β及αβ的值判斷出兩根同時為負(fù)，所以把所求的式子分子分母同時乘以分母，利用絕對值的代數(shù)意義：負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)化簡且把αβ的值代入后，提取-1，括號里通分后再把兩根之和與兩根之積代入即可求出值．

解答：解：∵α、β是方程x²+5x+1=0的兩個根，
而a=1，b=5，c=1，
∴b²-4ac=25-4=21＞0，
∴α+β=-

b

a

=-

5

1

=-5，αβ=

c

a

=

1

1

=1，
∴α與β同時為負(fù)，
則

αβ β2

+

αβ α2

=

αβ

|β|

+

αβ

|α|

=-（

αβ

β

+

αβ

α

）
=-（

1

β

+

1

α

）
=-

α+β

αβ

=-

-5

1

=5．

點評：此題考查了二次根式的化簡求值，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解答此類題往往先根據(jù)方程找出a，b及c的值，在方程有解的前提下，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積與兩根之和的值，然后把所求的式子通分、配方、提取公因式等方法化為與兩個之和及兩根之積有關(guān)的式子，整體代入即可求出值．學(xué)生在利用根與系數(shù)關(guān)系時注意方程有解這個前提條件．