Question

【題目】如圖，AB 是⊙O的直徑，∠DAB的角平分線(xiàn)AC交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AD于D，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，∠ACB的角平分線(xiàn)CE交AB于點(diǎn)F、交⊙O于E．

（1）求證：PC與⊙O相切；

（2）求證：PC＝PF；

（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）如圖，連接OC，根據(jù)AC是∠DAB的角平分線(xiàn)，證明OC∥AD，進(jìn)而可證PC與⊙O相切；

（2）根據(jù)CF是∠ACB的角平分線(xiàn)，和外角定義即可得∠PFC＝∠PCF，進(jìn)而得PC＝PF；

（3）根據(jù)AB 是⊙O的直徑，可得∠ACB＝90°，根據(jù)AC＝8，tan∠ABC＝＝，可得BC＝6，再根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可得線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．

（1）如圖，連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC是∠DAB的角平分線(xiàn)，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PC與⊙O相切；

（2）∵CF是∠ACB的角平分線(xiàn)，

∴∠ACF＝∠BCF，

∵∠CAF＝∠PCB，

∴∠ACF+∠CAF＝∠BCF+∠PCB，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF．

（3）∵AB 是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，tan∠ABC＝＝，

∴BC＝6，

∴AB＝＝10，

∴OB＝OE＝5，

∵∠ACE＝∠BCE，

∴，

∴EO⊥AB，

∴BE＝＝5．